Математичне моделювання

Математика посідає особливе місце серед наук, є універсальною мовою моделювання і вносить свій внесок у пізнання і розвиток знань в усіх галузях. Саме завдяки використанню математичного апарату зроблені багато відкриттів у фізиці, хімії, біології, інформатиці, економіці, соціології.

Нині математичне моделювання набуло загальнонаукового, універсального характеру, а вміння користуватися його прийомами тепер є невід'ємною частиною сучасної людини. Вміння моделювати є необхідним засобом вирішення професійно-орієнтованих і прикладних завдань. Тому звернемося до питання що таке моделювання, математичне моделювання і що мають на увазі під терміном "модель"?

За визначенням філософського енциклопедичного словника, модель (від латинської modulus - міра, образ, спосіб; французької modele - зразок) - це штучно створюваний об'єкт у вигляді схеми, креслення, логіко-математичних знакових формул, фізичної конструкції тощо.

Визначення В. А. Штофа "Модель - це така подумки уявна або матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна замістити його так, що її вивчення дає нову інформацію про об'єкт".

І. Б. Новік досить повно визначив інваріантні ознаки і специфічні особливості поняття "модель": "це штучний або природний об'єкт, що знаходиться в певній об'єктивній відповідності з досліджуваним об'єктом, здатний його заміщати на певних етапах пізнання, що дає в процесі дослідження деяку інформацію, що допускає дослідну перевірку за встановленими правилами, про самий досліджуваний об'єкт".

А. Б. Горстко вважає, що це "... матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає об'єкт-оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові його риси".

В економіко-математичному словнику Л. І. Лопатнікова подається наступне визначення: "... це логічний або математичний опис компонентів і функцій, що відображають істотні властивості модельованого об'єкта".

У природничих науках моделі визначаються, як "... деякі допоміжні об'єкти дослідження, які використовуються для аналізу основних об'єктів".

Таким чином, під моделлю розуміється об'єкт, що реально існує поряд з досліджуваним і схожий з ним відносно деяких певних властивостей або структурних особливостей, або конкретний образ досліджуваного об'єкта, який заміщає його і в якому відображаються реальні або передбачувані властивості, вивчення яких дає нові відомості про нього.

В математичному енциклопедичному словнику дається таке визначення математичної моделі: "наближений опис будь-якого класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математичної символіки".

Функції математичної моделі:
1. пізнавальна - визначення структури об'єкта чи явища та їх властивостей;
2. управлінська - створення моделі з метою вивчення можливостей управління об'єктом;
3. прогнозуюча - дослідження наслідків тих чи інших впливів на об'єкт.

Кожна математична модель має відповідати певним вимогам. У роботі А. Д. Мишкіс виділені такі вимоги:
1. Адекватність - правильний якісний і кількісний опис реального явища.
2. Простота - можливість у прийнятний термін та економно за витратами праці, але з розумною точністю провести дослідження.
3. Повнота - достатність даних, щоб отримати цікавий результат.
4. Продуктивність - використання в якості даних, наперед заданих величин тільки тих, які реально можуть бути виміряні або відомі з довідників.
5. Робастність - стійкість моделі щодо похибок у вихідних даних.
6. Наочність - ясний сенс складових частин моделі.

При цьому дослідник зазначає, що всі перераховані вимоги знаходяться в деякому взаємному протиріччі. Наприклад, спрощуючи модель, можна знизити її адекватність. Значить, в кожному конкретному випадку при складанні моделі якогось явища необхідно пам'ятати про мету дослідження, вміти відокремлювати істотні параметри від тих, якими в даній задачі можна знехтувати, і спиратися на вже доведені або відомі дані.
Таким чином, модель виступає як інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою і об'єктом з метою його вивчення.

Математичні моделі фахівці класифікують за різними підставами: за галузями наук; за вживаним математичним апаратом; за програмними цілями моделювання; за типом залежностей між параметрами і станами модельованого явища.

В. А. Штофф пропонує класифікувати моделі таким чином: за способом моделювання (за формою моделі); за якісною специфікою (змістом моделі).

А. Б. Горстко за програмними цілями моделювання виділяє наступні типи моделей:
- дескриптивні - використовуються для опису різних процесів, часто різної природи, але з одними математичними закономірностями;
- оптимізаційні - застосовуються у випадках, коли потрібно не тільки описати процес, а й керувати ним;
- багатокритеріальні - використовуються для ситуацій з кількома проблемами;
- ігрові - досліджують завдання, коли інтереси учасників не збігаються;
- імітаційні - вивчають поведінку складних систем, експериментальне дослідження яких утруднено.

В. А. Афанасьєв, Є. І. Смірнов, В. Д. Шадриков пропонують класифікацію моделей за формою подання знань:
- логічні (подання знань за допомогою мови предикатів);
- реляційні (різноманітні таблиці);
- продукційні (подання знань у вигляді сукупності правил, які фіксують процедуру математичних дій при вирішенні певних завдань);
- семантичні (подання знань у вигляді цілісного образу мережі, вузли якої відповідають поняттям і об'єктам, а дуги відносинам між об'єктами);
- фреймові (фрейм - структура даних для представлення деякого об'єкта з багаторівневою системою зв'язків і властивостей).

Існує класифікація моделей за використовуваним математичним апаратом, що застосовується в моделюванні: лінійне програмування; дискретне програмування (локалізаційні і комбінаторні методи) - методи лінійного цілочисельного програмування і метод гілок і меж; теорія ймовірностей і математична статистика; динамічне програмування; теорія ігор; теорія масового обслуговування; теорія управління запасами; стохастичне програмування; нелінійне програмування; теорія графів.

Класифікація моделей за використовуваним математичним апаратом може бути застосована для вирішення різних за специфікою завдань. Виходячи з того, що поняття "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності, до того ж одна і та ж модель може описувати процеси різної природи, математичне моделювання на сучасному етапі розвитку науки є об'єктом дослідження не тільки математиків, а й представників інших наук.