Математическое моделирование

Математика занимает особое место среди наук, является универсальным языком моделирования и вносит свой вклад в познание и развитие знаний по всем отраслям. Именно благодаря использованию математического аппарата сделаны многие открытия в физике, химии, биологии, информатике, экономике, социологии.

В настоящее время математическое моделирование приобрело общенаучный, универсальный характер, а умение пользоваться его приемами теперь является неотъемлемой частью современного человека. Умение моделировать является необходимым средством решения профессионально-ориентированных и прикладных задач. Поэтому обратимся к вопросу: что такое моделирование, математическое моделирование и что подразумевают под термином "модель"?

Из определения философского энциклопедического словаря, модель - (от латинского modulus - мера, образ, способ; французского modele - образец) - это искусственно создаваемый объект в виде схемы, чертежа, логико-математических знаковых формул, физической конструкции и т. п.

Определение В. А. Штофа "Модель - это такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об объекте".

И. Б. Новик достаточно полно определил инвариантные признаки и специфические особенности понятия "модель": "это искусственный или естественный объект, находящийся в некотором объективном соответствии с исследуемым объектом, способный его замещать на определенных этапах познания, дающий в процессе исследования некоторую допускающую опытную проверку информацию, переводимую по установленным правилам, о самом исследуемом объекте".

А. Б. Горстко считает, что это "... материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты".

В экономико-математическом словаре Л. И. Лопатникова дается следующее определение: "...это логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта".

В естественных науках модели определяются, как "...некоторые вспомогательные объекты исследования, используемые для анализа основных объектов".

Таким образом, под моделью понимается объект, реально существующий наряду с изучаемым и схожий с ним в отношении некоторых определенных свойств или структурных особенностей, либо конкретный образ изучаемого объекта, который замещает его и в котором отображаются реальные или предполагаемые свойства, изучение которых дает новые сведения о нем.

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение математической модели: "Приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики".

Функции математической модели:
1. познавательная - определение структуры объекта или явления и их свойств;
2. управленческая - создание модели с целью изучения возможностей управления объектом;
3. прогнозирующая - исследование последствий тех или иных воздействий на объект.

Каждая математическая модель должна соответствовать определенным требованиям. В работе А. Д. Мышкиса выделены такие требования:
1. Адекватность - правильное качественное и количественное описание реального явления.
2. Простота - "возможность в приемлемые сроки и экономно по затратам труда, но с разумной точностью" провести исследование.
3. Полнота - достаточность данных, чтобы получить интересующий результат.
4. Продуктивность - использование в качестве данных, наперед заданных величин только тех, которые реально поддаются измерению или известны из справочников.
5. Робастность - "устойчивость модели относительно погрешностей в исходных данных".
6. Наглядность - ясный смысл составных частей модели.

При этом исследователь отмечает, что все перечисленные требования находятся в некотором противоречии друг другу. Например, упрощая модель, можно снизить ее адекватность. Значит, в каждом конкретном случае при составлении модели какого-то явления необходимо помнить о цели исследования, уметь отделять существенные параметры от тех, которыми в данной задаче можно пренебречь, и опираться на уже доказанные или известные данные.

Таким образом, модель выступает как инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом с целью его изучения.

Математические модели специалисты классифицируют по различным основаниям: по отраслям наук; по применяемому математическому аппарату; по целям моделирования; по типу зависимостей между параметрами и состояниями моделируемого явления.

В. А. Штофф предлагает классифицировать модели таким образом: по способу моделирования (форме модели); по качественной специфике (содержанию модели).

А. Б. Горстко по целям моделирования выделяет следующие типы моделей:
- дескриптивные - используются для описания различных процессов, часто разной природы, но с одними математическими закономерностями;
- оптимизационные - применяются в случаях, когда нужно не только описать процесс, но и управлять им;
- многокритериальные - используются для ситуаций с несколькими проблемами;
- игровые - исследуют задачи, когда интересы участников не совпадают;
- имитационные - изучают поведение сложных систем, экспериментальное исследование которых затруднено.

В. А. Афанасьев, Е. И. Смирнов, В. Д. Шадриков предлагают классификацию моделей по форме представления знаний:
- логические (представление знаний с помощью языка предикатов);
- реляционные (разнообразные таблицы);
- продукционные (представление знаний в виде совокупности правил, фиксирующих процедуру математических действий при решении определенных задач);
- семантические (представление знаний в виде целостного образа сети, узлы которой соответствуют понятиям и объектам, а дуги отношениям между объектами);
- фреймовые (фрейм - структура данных для представления некоторого объекта с многоуровневой системой связей и свойств).

Существует классификация моделей по используемому математическому аппарату, применяемому в моделировании: линейное программирование; дискретное программирование (локализационные и комбинаторные методы) - методы линейного целочисленного программирования и метод ветвей и границ; теория вероятностей и математическая статистика; динамическое программирование; теория игр; теория массового обслуживания; теория управления запасами; стохастическое программирование; нелинейное программирование; теория графов.

Классификация моделей по используемому математическому аппарату, может быть применена для решения различных по специфике задач. Исходя из того, что понятие "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности, к тому же одна и та же модель может описывать процессы различной природы, математическое моделирование на современном этапе развития науки является объектом исследования не только математиков, но и представителей других наук.